香农采样定理通俗解释（简述奈奎斯特香农采样定理）-钰翎珑科普网

香农采样定理通俗解释（简述奈奎斯特香农采样定理）

龙九 • 2022年9月14日 pm6:25 • 科技

身边有各种模拟信号如、电流、电磁波、温度、声音等。作为一个计算机系统，只知道0与1，这就决定了只能对数字信息进行处理，然而又怎么能对我们身边这些模拟信号进行处理？为了了解这一问题，就必须了解数字信号处理领域里很重要的定理采样定理采样定理是连接模拟信号与数字信号的根本桥梁，这篇文章就与您共同研究奈奎斯特一香农采样定理。

采样定理是美国电信工程师奈奎斯特于1928年首次提出的，故称奈奎斯特采样定理。这个定理是苏联工程师科捷利尼科夫于1933年第一次以公式的形式严格表示出来的，故苏联文献称它为科捷利尼采样定理。1948年信息论奠基人香农清楚阐明了这个定理，并且被正式引用为定理，所以很多文献也称香农采样定理。

我们首先看以下的例子。对一正弦信号而言：

若我们按0.5、0.25、0.1、0.01区间取一点，再用直线把各点连起来。

由上图可发现时间间隔愈小，纪录此讯号之点数愈大，讯号还原之准确性愈高。很明显我们不能用无穷多个点来记录这一信号，怎样才能在合理利用计算机资源的同时精确地表示出这一信号？

事实上大佬早已经研究过了，那便是今天我们要学的奈奎斯特-香农采样定理。

采样频率应高于信号最高频率两倍才可以无失真地保存信号完整信息。

那就是：

在此我们把该信号的频率即该临界点称为奈奎斯特频率。以下不妨从实验开始了解这一定理。如果存在以下信号的话：

使f=5 Hz，然后分别按5Hz、10Hz、20Hz、40Hz、100Hz采样率顺序取样，在时域、频域内观察在不同采样率下对信号的恢复，老规则是先编码。

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def signalCreate(_fs, _N, _f0):

fs = _fs # 采样率

N=-N#的数据点数

f0 = _f0

n = np.linspace(0, N-1, N)

t = n / fs

yt = np.exp(1j*2*np.pi*f0*t)

f = n * fs / N- fs/2

yf = np.fft.fftshift(np.fft.fft(yt))

return t, yt, f, yf

t, yt, f, yf = SignalCreate (5,128,5)

Plt.subplot (5,2,1)

plt.plot(t, yt)

Plt.subplot (5,2,2)

plt.plot(f, np.abs(yf))

t, yt, f, yf = SignalCreate (10,128,5)

Plt.subplot (5,2,3)

plt.plot(t, yt)

Plt.subplot (5,2,4)

plt.plot(f, np.abs(yf))

t, yt, f, yf = SignalCreate (20,128, 5)

Plt.subplot (5,2,5)

plt.plot(t, yt)

Plt.subplot (5,2,6)

plt.plot(f, np.abs(yf))

t, yt, f, yf = SignalCreate(40,128,5)

Plt.subplot(5,2,7)

plt.plot(t, yt)

Plt.subplot(5,2,8)

plt.plot(f, np.abs(yf))

t, yt, f, yf = signalCreate(100, 128, 5)

Plt.subplot(5,2,9)

plt.plot(t, yt)

Plt.subplot(5,2,10)

plt.plot(f, np.abs(yf))

Pleaseshow()

结果见下图，左为时域，右为频域在5Hz的采样频率下，恢复后的信号为0频率直流信号，可见在此采样频率低于2倍信号频率就不能精确地恢复原始信号，而在10Hz采样频率下恢复后的信号看起来也还存在一定的误差，频域中可以清楚地看出信号并不能被完全地表现出来，而在20Hz采样频率下，无论时域或频域中恢复后的信号与原始信号已非常接近，当然，我们还可以不断地提高采样频率来实现40Hz与100Hz采样频率下的恢复。